Intensité, flux, luminance, chrominance et quelques autres

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Sommaire

Photon

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En considérant la lumière comme une onde, il est connu que, du violet au rouge, les longueurs d'onde visibles varient, environ, des plus courtes à 380 nm (nm = nanomètre = milliardième de mètre) aux plus longues dans les 780 nm. Comme la fréquence est inversement proportionnelle à la longueur d'onde (longueur d'onde = célérité de la lumière c / fréquence ν ), les fréquences correspondantes diminuent du violet au rouge d'environ 300.10^6m/s / 380.10^-9m = 0,79.10^15 Hz à 300.10^6m/s / 780.10^-9m = 0,38.10^15 Hz (dans le vide, toutes les ondes lumineuses ont la même célérité).

La lumière peut aussi être vue comme composée de corpuscules sans masse, les photons, qui sont des petits grains d'énergie. La mécanique quantique nous apprend que l'énergie d'un photon est proportionnelle à sa fréquence ν (E = h.ν, la constante de Planck vaut h ≈ 6,626.10^-34 J.s).

Les petits photons violets sont donc les plus agités et transportent pratiquement deux fois plus d'énergie que les photons rouges, qui sont presque deux fois plus gros mais quelque peu lymphatiques :-).

Il est très difficile de photographier un photon. D'abord il est tout petit et il va vite. Ensuite, au moment où vous croyez tenir le corpuscule, il peut utiliser sa dualité onde-particule pour se transformer en onde. Enfin, Heisenberg a décrété qu'il était interdit de connaître précisément à la fois la vitesse et la position de la particule. Il ne faut donc pas espérer mieux qu'une photo floue.
Ci-contre deux photons pris par surprise et à fort grossissement ;-).

Rétine

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Chacun sait que la rétine reçoit sur le fond de l'œil l'image de la scène observée, formée par le cristallin. La complexité de cet organe est moins connue. Poste avancé du cerveau, la rétine est le siège de multiples processus de traitement de la lumière incidente. Il s'agit en fait d'une chaîne de traitement. A l'entrée, les photorécepteurs captent une partie de la lumière incidente grâce à des pigments et convertissent l'énergie lumineuse absorbée en signaux électriques. Par leurs terminaisons synaptiques, ils transmettent ces signaux à une véritable usine neuronale qui amplifie les signaux et effectue un traitement massivement parallèle pour réduire l'information issue des 125 millions de photorécepteurs (par œil, soit dix fois plus que les pixels du capteur photographique standard 2010) à seulement 1 million de signaux fournis à autant de canaux du nerf optique, par l'intermédiaire des cellules ganglionnaires (pour une présentation détaillée, cf. réf. 1 au bas de cette page).

Schéma de principe de la rétine.

Quoiqu'il en soit, la porte d'entrée de la vision est donc constituée par les photorécepteurs, qui font de 5 à 10 µm de diamètre (environ 10 fois la longueur d'onde de la lumière vue). Parmi les 125 millions de photorécepteurs, le gros de la troupe est formé par les bâtonnets, qui servent à voir à basse lumière et interviennent peu dans la vision de la couleur. Celle-ci est essentiellement assurée par les cones, en nombre variable pouvant aller à 7 millions (réf. 1). Ces cones se répartissent en trois catégories L, M, S, portant des pigments différents qui les rendent plutôt sensibles aux ondes lumineuses de longueurs d'onde respectivement longues, moyennes et courtes. C'est l'utilisation de ces trois types de cones qui permet la vision de la couleur. D'après la référence 2, ces trois populations de cones n'ont pas les mêmes effectifs. Il y a environ respectivement 53% de L, 38% de M et 9% de S et, de plus, ils n'ont pas la même sensibilité. Ainsi, avant même que la rétine et le reste du cerveau se livrent à des traitements complexes des signaux lumineux, l'œil humain ne perçoit pas avec la même sensibilité les différentes longueurs d'onde des rayonnements lumineux.

Efficacité lumineuse

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Ainsi, un rayonnement lumineux ayant un watt (1 W) de puissance ne fait pas à l'œil le même effet selon qu'il a une longueur d'onde de 400 nm ou de 600 nm. Pour traduire cette différence de perception, l'unité de mesure du flux lumineux visuellement perçu est définie en pondérant la puissance physique (W) transportée par le rayonnement par un facteur dépendant de la longueur d'onde.

Ce facteur s'appelle l'efficacité lumineuse (attention, ces termes sont souvent abusivement employés pour désigner le rendement lumineux mais les deux notions sont bien différentes). Une autre manière d'exprimer les choses est de dire que l'efficacité lumineuse est la fonction représentant les variations du carré du module de la fonction de transfert entre le signal incident et sa perception par l'œil, normalisée pour rendre son maximum égal à 1. La première grandeur est objective et la seconde est parfois dite subjective mais elle repose quand même sur les caractéristiques biophysiques de la rétine déterminant le signal délivré par les photorécepteurs, comme expliqué précédemment.

Par définition, l'efficacité lumineuse est une fonction sans dimension, notée ici V(λ), choisie égale à 1 pour la longueur d'onde à laquelle l'œil est le plus sensible, soit 555 nm. Pour les autres longueurs d'onde, elle varie entre 0 et 1. Ce qui précède est vrai pour la vision diurne, une autre norme s'applique à la vision de nuit. Plus précisément, cette fonction a été définie en 1924, sous la forme d'une norme édictée par la Commission internationale de l'Eclairage (CIE). Elle a été complétée en 1988 pour tenir compte des travaux précisant la perception des ondes courtes (en dessous de 460 nm - cf. réf. 3 et 13).

Les variations de cette fonction sont données par la table ci-dessous et représentées par les courbes à droite :
   λ (nm)          V(λ)   
3800,000039
3850,000064
3900,000120
3950,000217
4000,000396
4050,000640
4100,001210
4150,002180
4200,004000
4250,007300
4300,011600
4350,016840
4400,023000
4450,029800
4500,038000
4550,048000
4600,060000
4650,073900
4700,090980
4750,112600
4800,139020
4850,169300
4900,208020
4950,258600
5000,323000
5050,407300
5100,503000
5150,608200
5200,710000
5250,793200
5300,862000
5350,914850
5400,954000
5450,980300
5500,994950
5551,000000
5600,995000
5650,978600
5700,952000
5750,915400
5800,870000
5850,816300
5900,757000
5950,694900
6000,631000
6050,566800
6100,503000
6150,441200
6200,381000
6250,321000
6300,265000
6350,217000
6400,175000
6450,138200
6500,107000
6550,081600
6600,061000
6650,044580
6700,032000
6750,023200
6800,017000
6850,011920
6900,008210
6950,005723
7000,004102
7050,002929
7100,002091
7150,001484
7200,001047
7250,000740
7300,000520
7350,000361
7400,000249
7450,000172
7500,000120
7550,000085
7600,000060
7650,000042
7700,000030
7750,000021
7800,000015




Ainsi, la rétine voit le monde physique tronqué à travers cette fenêtre ogivale. Cet effet de pondération et de troncature est pris en compte dans la définition des unités de mesure lumineuse, à commencer par l'intensité.

Intensité lumineuse

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L'intensité est une grandeur énergétique vectorielle générale, utilisée pour représenter les flux de puissance dans des directions données.

La nature vectorielle de l'intensité rend compte de la variation de la densité angulaire de puissance rayonnée en fonction de la direction de l'espace.

L'intensité lumineuse joue le même rôle avec deux particularités : (a) d'une part, compte tenu des propriétés de propagation de la lumière en ligne droite (en oubliant la relativité générale, réf. 5 :-), elle indique la distribution du flux de puissance par unité d'angle solide ; (b) d'autre part, elle se mesure non pas en watt par stéradian (W/sr) mais bien en watt par stéradian pondéré par une fonction proportionnelle à l'efficacité lumineuse, autrement dit en candela.

Plus précisément (réf. 4), la candela est l’intensité lumineuse, dans une direction donnée, d’une source qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540.1012 Hz et dont l’intensité énergétique dans cette direction est 1/683 W/sr. Cette fréquence correspond à la longueur d'onde de 555,56 nm (couleur jaune-vert).

Par voie de conséquence, une source qui émet la même intensité énergétique de 1/683 W/sr dans une direction mais cette fois par un rayonnement monochromatique à la fréquence de 636.1012 Hz (λ= 472 nm, couleur cyan) n'aura dans cette direction qu'une intensité lumineuse IV ≅ 0,1 cd (en module).

Plus généralement, un rayonnement monochromatique de 1/683 W/sr à la longueur d'onde λ dans une direction a une intensité lumineuse de V(λ) cd dans cette direction.

La connaissance de l'intensité lumineuse permet, par intégration spatiale c'est-à-dire par sommation sur un ensemble de directions, de déterminer le flux lumineux rayonné dans un cone d'angle solide donné. Elle permet aussi, par intégration spectrale (sommation sur un ensemble de fréquences ou de longueurs d'ondes), d'obtenir le flux lumineux d'une onde non monochromatique.

Flux lumineux

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Pour une onde monochromatique, la puissance (grandeur énergétique habituelle en W) rayonnée dans un cone Ω d'ouverture finie (ie d'angle solide non infinitésimal) est directement proportionnelle au nombre Nph de photons par seconde envoyés dans ce cone par la source. En effet, comme vu plus haut, l'énergie de chaque photon est E = h.ν = hc/λ (en Joules J) et la puissance est donc simplement P(λ) = Nph.hc/λ (en W).

Le flux lumineux est la puissance perçue par l'œil. Comme l'intensité lumineuse, le passage de la puissance au flux lumineux s'effectue en incorporant la pondération par l'efficacité lumineuse. Pour une onde monochromatique : F(λ) = P(λ).V(λ)= V(λ).Nph.hc/λ
(P(λ) est mesurée en W, V(λ) est sans dimension ; F(λ) est usuellement mesurée en lumen (lm), à raison de 683 lm/W).

En termes mathématiques, le flux lumineux est donc simplement l'intégrale sur le cone de l'intensité lumineuse rayonnée par la source dans ce cone. Pour préciser l'expression, il faut se rappeler que l'angle solide dΩ sous lequel est vu l'élément différentiel vectoriel de surface dS (= dS.n, où n est le vecteur unitaire normal à la surface et s'éloignant de la source) placé au point M depuis la source (supposée ponctuelle et placée au point O) est donné par le produit scalaire :
dΩ = u.dS/R2
u est le vecteur unitaire radial s'éloignant de la source et R le rayon de la sphère centrée sur la source et passant par M, soit R=OM.

En conséquence, IV.dΩ = IV.u.dS/R2IV.dS/R2 est l'élément différentiel de flux lumineux. Le flux lumineux total dans l'angle solide Ω est alors :


soit


.

Pour exprimer la prise en compte de cette pondération "subjective", le flux lumineux se mesure en lumen (lm) (et non en watt). D'après l'expression du flux lumineux, 1 lm = 1 cd.sr .

Le cas d'une onde non monochromatique est simple. Le flux lumineux est donné par sommation, sur toutes les longueurs d'onde présentes dans le faisceau lumineux, des flux lumineux de ses composantes monochromatiques. En notant nph(λ).dλ le nombre de photons par seconde de longueurs d'onde comprises entre λ et λ+dλ envoyés par la source dans le cone observé, le flux lumineux total est  :

c'est-à-dire, en notant spectre de puissance le spectre de puissance (en W/m) :
flux lumineux intégré
où, comme toujours, F s'exprime en lumen (lm), à raison de 683 lm/W.

Cette expression donne bien l'effet énergétique ressenti par l'œil mais ne caractérise qu'imparfaitement la perception visuelle du rayonnement reçu. En effet, deux rayonnements de distributions spectrales de puissance différentes peuvent transporter le même flux lumineux alors que l'œil les distinguera en les percevant comme de couleurs différentes. Il est possible de mettre un peu de nuance dans la caractérisation du rayonnement perçu grâce à la notion de température de couleur. La définition précise de cette dernière fait appel aux notions de luminance et de corps noir.

Luminance et émittance (source étendue)

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Une tache de couleur occupant une certaine surface sur une feuille de papier ou sur un écran est une source dite "étendue", par opposition à "ponctuelle". Chaque point de la surface d'une source électromagnétique étendue est une source ponctuelle. L'émission de puissance est distribuée sur la surface et mesurée en watt par mètre carré (W/m²).

De même, dans le domaine visible, le flux lumineux rayonné est caractérisée par une densité d'émission mesurée en lumen par mètre carré (lm/m²). Cette émission résulte d'une distribution surfacique de l'intensité lumineuse émise dans les directions de l'espace par chaque point de la surface, mesurée en candela par mètre carré (cd/m²).

Le flux lumineux qui entre dans la pupille de l'iris de l'œil ou du diaphragme de l'appareil de photo s'obtient alors par sommation du flux lumineux envoyé par le point courant de la source étendue dans le cone issu de ce point et appuyé sur le contour de la pupille.

Plus précisément, l'élément différentiel dFO de flux lumineux entrant dans la pupille en provenance de l'élément différentiel de surface dS placé au point courant O de la source résulte d'un élément différentiel de champ d'intensité lumineuse dIV(O,M) intégré sur l'angle solide Ω issu de O

où le module dIV(O,M) est proportionnel à l'élément de surface de source :
dIV(O,M) = L(O,M).dS
ou bien sous forme scalaire :
dIV(O,M) = L(O,M).dS.cos(α)
en notant α l'angle entre le coefficient vectoriel de proportionnalité L(O,M) et dS.
dS.cos(α) est souvent appelé "surface apparente" de l'élément de surface dS dans la direction considérée et L(O,M) est le module d'une densité d'intensité lumineuse par unité de surface apparente, mesuré en candela par mètre carré (cd/m²).

Par définition, L(O,M) est la luminance de la source au point O dans la direction du point M.
Nota : en général, l'usage ne précise pas "luminance lumineuse", étant entendu qu'il faut distinguer la luminance "tout court" (qui tient compte de la pondération par l'efficacité lumineuse) de la luminance énergétique (grandeur objective).
Cette présentation montre qu'il est commode de définir la luminance comme une grandeur vectorielle à laquelle l'élément différentiel d'intensité lumineuse est colinéaire : dIV(O,M) = [L(O,M).dS]u
u est le vecteur unitaire u = OM/OM.
Avec ces notations, le flux entrant dans la pupille s'exprime par une intégrale double :
.
La deuxième intégrale est la luminance intégrée dans l'angle solide Ω, c'est donc le vecteur émittance Epupille(O) de l'élément différentiel de surface dans l'angle solide appuyé sur la pupille, exprimée en lumen par mètre carré de surface apparente, c'est-à-dire en lux (1 lx = 1 lm/m²). Avec l'émittance, le flux s'exprime par une intégrale simple sur la surface de la source :

La luminance est rarement utilisée sous forme vectorielle. En effet, dans les situations courantes, la pupille est assimilable à un point éloigné de la source étendue regardée. La luminance peut alors être simplement représentée par son module qui exprime en un seul chiffre l'intensité lumineuse surfacique de la portion de la source regardée, sous l'angle sous lequel elle est vue, dans la direction de la pupille.

De même, l'émittance scalaire vers la pupille, simplement multipliée par la surface apparente de l'élément de source, donne le flux lumineux envoyé par celle-ci dans la pupille.

Il est à noter que la définition de la luminance qui précède vaut pour une lumière contenant plusieurs longueurs d'onde, chacune contribuant pour une part à la luminance totale.

D'après les références 6 et 7, les longueurs d'onde associées aux principales couleurs visibles sont données par les quatre premières colonnes de la table suivante, dont la dernière colonne donne une évaluation des efficacités lumineuses correspondantes pour les trois couleurs primaires.

- Couleur -
(nom)
- Longueur d'onde -
λ en nm (NASA)
- Etendue de l'intervalle de λ -
en nm (HyperPhysics)
- Estimation d'une valeur -
centrale
- Efficacité lumineuse -
approchée
Violet400380-435408---
Indigo445---------
Bleu475435-5004680,08
Cyan---500-520510---
Vert510520-5655430,5 à 1
Jaune570565-590573---
Orange590590-6256450,1 à 0,14
Rouge650625-740

La NASA oublie le cyan ou, plutôt, l'agglomère au vert, ce qui la conduit à donner une valeur "centrale" un peu trop basse pour le vert. Tout en dissociant l'orange, Hyperphysics va chercher les rouges loin vers l'infrarouge, d'où une valeur "centrale" pour le rouge trop élevée. En tenant compte de ces incertitudes sur la définition des couleurs, ce tableau indique que l'œil est environ 6 fois (entre 3 et 10) plus sensible aux verts qu'aux rouges et 9 fois (entre 6 et 12) plus sensible aux verts qu'aux bleus.

D'après la théorie naïve de la vision des couleurs voulant que toute couleur peut se représenter comme une addition des trois primaires rouge, vert et bleu, la table précédente indique que les contributions de ces trois primaires à la luminance de la couleur sont inégales. Ainsi, par exemple, en conservant le bleu constant, pour garder une luminance constante, une réduction du contenu en vert doit être compensée par une augmentation du rouge 6 fois plus grande environ. Pour dépasser cette évaluation approximative qualitative et réaliser un travail technique quantitatif, il va falloir préciser les définitions...

Il est cependant déjà possible de noter que, si les contenus respectifs R, V et B en rouge, vert et bleu sont mesurés sur une échelle de 0 à 100% (pour un codage classique sur un octet, 100% correspond à 255) et de même pour la luminance L, la fonction linéaire qui envoie le cube (R,V,B) de côté [0,100%] dans l'intervalle de luminance L ∈ [0,100%] a la forme :
L= αR.R +αV.V +αB.B ,
où les 3 coefficients αR, αV, αB sont déterminés par les 3 conditions suivantes :

KR et KB sont deux constantes choisies pour définir un système de représentation, c'est-à-dire une loi de correspondance entre le cube (R,V,B) et la luminance L.

Dans cette convention, la luminance maximale est atteinte seulement par le blanc.

D'après la référence 8, dans le système de représentation sRGB, la luminance est donnée par : L= 0,2126.R + 0,7152.V + 0,0722.B  (attention, cette formule dépend du système de représentation choisi), ce qui permet de vérifier que pour ce système :

Tous comptes faits, comme le flux lumineux, la luminance caractérise la perception d'un faisceau lumineux par une quantité très globale exprimant un niveau de puissance lumineuse perçue, sans faire de nuance sur l'interprétation colorée du faisceau.

Corps noir et température de couleur

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Un corps noir est un corps qui absorbe tous les rayonnements qui tombent sur lui. Il ne parait pas noir pour autant car, si sa température est elevée, l'agitation thermodynamique de ses atomes cause l'émission de rayonnements qui lui font prendre une couleur.

Une image d'un corps noir peut être donnée par un morceau de charbon. A température ambiante, il est noir. Lorsque sa température monte, il rougeoie puis prend des teintes plus vives. Son rayonnement n'est cependant pas uniquement celui d'un corps noir car il contient une contribution due à la combustion.

Le rayonnement d'un corps noir peut être calculé par la théorie quantique. Il est caractérisé par un contenu spectral continu donné par la loi de Planck :

où c=3.10^8 m/s, h ≈ 6,626.10^-34 J.s et kb=1,38E-23 J/K sont respectivement la célérité de la lumière et les constantes de Planck et de Boltzman, et T la température du corps noir. La table suivante présente les courbes des densités spectrales des luminances énergétiques (en (W/m²/sr)/m, en marron) et lumineuses (ie la même chose mais pondérée par l'efficacité lumineuse et exprimée, exceptionnellement, dans la même unité, pour mettre en évidence la relation entre les fonctions, en bleu) du corps noir pour trois températures, en échelles linéaires et logarithmiques (les échelles des trois colonnes sont différentes).

T = 2000 K
(coucher du soleil)
T = 5800 K
(soleil au zénith)
T = 6500 K
(lumière naturelle)

En toute première approximation, comme le spectre perçu par l'œil présente une dominante de couleur variable, c'est à dire un maximum marqué dont la position en longueur d'onde se déplace avec la température, on lit parfois que la température de couleur correspond à la couleur de la source. En réalité, la température de couleur est associée à une forme précise de spectre et exprime donc une distribution particulière de la puissance lumineuse en fonction de la longueur d'onde.

En toute rigueur, la température de couleur ne devrait avoir de sens que pour une source dont le spectre rayonné serait le même que celui d'un corps noir. Dans ce cas simple, la connaissance de la position du maximum du spectre suffit à déterminer la température de couleur de la source.

Cependant, pour ce qui concerne la vision des couleurs, il n'est pas indispensable que la forme du spectre de la source considérée soit exactement celle d'un corps noir car, compte tenu des propriétés du système visuel, il suffit que sa décomposition en trois couleurs primaires soit la même que celle d'un corps noir, autrement dit que sa chrominance soit celle d'un corps noir. De plus, si la perception colorée est proche de celle d'un corps noir, il est possible d'utiliser la "température de couleur corrélée" (réf. 17).

Chrominance

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La décomposition en trois couleurs d'une lumière de spectre connu est facile à calculer grâce aux fonctions colorimétriques publiées par la CIE en 1931 (réf. 9) et complétées en 1964 (pour des champs de vision plus étendus). La première norme s'appuie sur deux séries de travaux réalisés depuis 1926 avec des sources primaires de longueurs d'ondes 630 nm, 543 nm et 460 nm dans un cas et 650 nm, 530 nm et 460 nm dans l'autre. Des expériences d’équivalence visuelle (cf. réf. 10), réalisées sur un échantillon représentatif de personnes, conduisent à déterminer expérimentalement le mélange de deux des trois primaires constituant un stimulus équivalent à une couleur monochromatique saturée donnée prise comme cible. Parfois, ce mélange dichromatique est presque équivalent mais l'égalité parfaite ne peut être obtenue qu'en ajoutant à la couleur cible un éclairage avec la troisième couleur et, par convention, cet ajout est noté comme une contribution négative au mélange dichromatique presque équivalent. La Commission effectue la synthèse de ces travaux (cf. réf. 11) et adopte trois primaires, notées ([R], [G], [B]) qui sont les couleurs monochromatiques rouge, vert et bleu de longueurs d’onde respectives 700,0 nm, 546,1 nm et 435,8 nm et définit un observateur de référence.
Pour celui-ci, tout stimulus monochromatique s(λ) peut être représenté par un mélange trichromatique des primaires RGB choisies, avec des intensités notées par la CIE r(λ), g(λ), b(λ) :
s(λ) = r(λ).R + g(λ).V + b(λ).B
où, pour tout λ, l'une des trois fonctions colorimétriques a une valeur nulle, voire parfois négative. Ces fonctions sont représentées graphiquement par la figure suivante (échelle verticale arbitraire), où les valeurs négatives du rouge indiquent l'impossibilité de représenter un cyan comme une simple combinaison de vert et de bleu (pour les primaires choisies).

Pour les rendre indépendantes du niveau de flux émis par les sources monochromatiques primaires, ces courbes sont normalisées de façon à avoir la même intégrale P. Cette normalisation relative réduit chaque courbe à l'information donnant la pondération de la contribution de chaque longueur d'onde à la détermination de la composante primaire correspondant à la courbe considérée. Cependant, elle "oublie" l'information rendant compte de la luminance relative des trois sources primaires, qu'il faut réintroduire autrement, comme suit.

Un stimulus lumineux STIM de spectre de puissance S(λ) peut être représenté par un point dans un espace à trois dimensions dont les axes sont associés aux trois primaires R, V et B (à différents niveaux de flux lumineux). En notant Pi chacune de ces primaires (i = 1 à 3) et pi(λ) la fonction colorimétrique correspondante, les coordonnées STIMi de STIM dans cet espace sont données par le produit scalaire de son spectre avec les fonctions colorimétriques, défini par :

qui effectue une simple sommation des contributions des différentes longueurs d'onde présentes et où l'intégrale du produit est réduite à l'intervalle visible par l'indicatrice incluse sous le signe somme.

Appliquée à un stimulus BB ayant un "spectre de bruit blanc", c'est-à-dire constant S(λ)=Sbb, cette formule donne des composantes égales :
BBi=P.Sbb pour i= 1,2,3. Comme le montre la référence 11, choisir ce blanc dit "isoénergétique" comme blanc de référence obtenu avec un égal niveau des trois sources primaires revient à fixer les valeurs relatives des luminances de ces trois sources aux valeurs Lrouge (700,0 nm) = 1,0000, Lvert (546,1 nm) = 4,5907 et Lbleu (435,8 nm) = 0,0601.

Une autre façon de voir les choses est de noter que le stimulus STIM est perçu de la même manière que le stimulus ayant pour spectre la somme des trois diracs placés aux longueurs d'onde des primaires. La luminance de ce dernier (calculée au second membre de l'égalité ci-dessous avec la fonction d'efficacité lumineuse) doit être égale à la luminance du stimulus STIM d'origine (au premier membre) :
.
En remplaçant STIMi par son expression précédente et en permutant la sommation et l'intégration, cette égalité s'écrit également :

et, comme elle doit être vraie pour tout spectre S(λ), elle implique que la fonction d'efficacité lumineuse doit être une combinaison linéaire des fonctions colorimétriques :
.
Compte tenu des erreurs de mesure et des dispersions expérimentales, plutôt que d'adopter les valeurs théoriques V(λi) des coefficients constants de la combinaison, la CIE les a en réalité déterminés pour que V(λ) soit au mieux représentée par la combinaison linéaire au sens des moindres carrés (cf. réf. 12). C'est cet ajustement aux moindres carrés qui fournit les valeurs relatives 1:4,5907:0,0601. En normalisant ces trois valeurs pour que leur somme devienne égale à 1 (division par 1+4,5907+0,0601 = 5,6508 => 0,17697:0,81240:0,01063), ceci implique qu'un stimulus de coordonnées chromatiques rs, gs, bs a une luminance donnée à un facteur multiplicatif près par ce résultat :

L est proportionnelle à 0,17697.rs + 0,81240.gs + 0,01063.bs

(pour comparaison avec ce qui a été dit dit au paragraphe "Luminance" plus haut, on voit que dans le système de représentation RGB de la CIE, on a KR= 4,59 et KB= 76,38).

Normalisation

La kème primaire, émise avec une puissance Pk, a un spectre de puissance en Dirac S(λ) = Pkλk et donc des coordonnées Pk.rk), Pk.gk) et Pk.bk). Par définition, une primaire est sa propre décomposition en primaires, donc deux de ses coordonnées sont nulles. Il est commode de définir la troisième de sorte que la valeur de la coordonnée soit simplement la puissance de la source monochromatique primaire, soit Pk. Avec cette convention, les trois primaires R, V et B, de longueurs d'onde respectives λR, λV et λB, vérifient :

Un rayon lumineux monochromatique de longueur d'onde λ et de puissance P a un spectre en Dirac S(λ) = P.δλ et donc pour coordonnées P.r(λ), P.g(λ), et P.b(λ). Comme la puissance d'un rayonnement est proportionnelle au débit de ses photons, le même stimulus obtenu par superposition des trois primaires ainsi définies a simplement pour puissance la somme des trois coordonnées. On doit donc nécessairement avoir P = P.r(λ)+P.g(λ)+P.b(λ) c'est-à-dire :
r(λ)+g(λ)+b(λ) = 1.
Les coordonnées chromatiques ainsi définies sont dites réduites ou normalisées. Dans l'espace des couleurs, l'ensemble des points de coordonnées (r, g, b) vérifiant l'égalité r+g+b=1 forme un plan. La position du point représentatif du rayonnement dans ce plan traduit son caractère chromatique, ie sa chrominance, indépendamment de son niveau de puissance. Dans ce plan, par construction, le blanc iso-énergétique choisi comme référence a ses trois coordonnées chromatiques égales à 1/3.

Il a été dit que, dans cet espace, la puissance d'un stimulus STIM est simplement la somme des trois coordonnées STIMi de son point représentatif. Le sens physique de ceci est évident lorsque les trois coordonnées sont positives. Il est intéressant de noter que, si l'une des coordonnées est négative, la somme des valeurs absolues des coordonnées |STIM1|+|STIM2|+|STIM3| (qui est une norme du rayon vecteur reliant l'origine à STIM) représente la puissance totale délivrée pour équilibrer les couleurs dans l'expérience d'équivalence visuelle de la CIE pour l'observateur standard de 1931.

Nota

Si la source et le capteur sont étendus, la même analyse peut être appliquée aux rayonnements élémentaires émis par des portions de surface de source dans des directions diverses de l'espace. Alors, le même raisonnement est utilisable mais, au lieu de raisonner en puissance totale, il convient d'utiliser la luminance énergétique, qui traduit la répartition du rayonnement. Ceci se fait très simplement en changeant l'unité des axes du repère de l'espace colorimétrique.

Alychne

Une conséquence immédiate de la relation entre la luminance et les fonctions colorimétriques (établie plus haut) est qu'il existe dans l'espace RGB un plan où la luminance est nulle.
Son équation est : 0,17697.r + 0,81240.g + 0,01063.b = 0
et Schrödinger a nommé ce plan "alychne" (mot grec signifiant "sans lumière"). Ce plan passe par l'origine, évidemment (équation vérifiée pour r=g=b=0). Son intersection avec le plan de chromaticité (d'équation r+g+b=1) est une droite qui vérifie l'équation :
0,17697.r + 0,81240.g + 0,01063.(1-r-g) = 0,

c'est-à-dire : 0,82303.r + 0,18760.g - 0,01063 = 0.

Les points formants cette droite alychne représentent les combinaisons de coordonnées chromatiques qui produisent une luminance nulle.

Application au corps noir

La densité spectrale de luminance énergétique du corps noir étant donnée par la loi de planck :
, en W/m³,
les coordonnées du stimulus émis par un corps noir, soit CORNOAR, sont données (à une constante multiplicative près traduisant la surface émettrice et l'angle solide observé) par le produit scalaire introduit ci-avant :
,
et, après normalisation par la norme ||CORNOAR|| (somme des valeurs absolues des 3 coordonnées) du stimulus :
.
Chacune de ces coordonnées est donc fonction du paramètre T. Par suite, lorsque T varie, le point représentatif du corps noir parcourt une courbe de l'espace chromatique. Par construction, la somme des trois coordonnées normalisées est égale à l'unité et, par conséquent, cette courbe est incluse dans le plan de chromaticité.

L'intégrale qui précède est facile à calculer. La table suivante donne quelques valeurs approchées des trois composantes normalisées, obtenues pour diverses valeurs de la température de couleur. La dernière colonne montre la chrominance du spectre en affichant le mélange saturé (la composante la plus grande est fixée à 255 et les deux autres calculées en proportion des composantes).

   Température T (K)       rouge(CORNOAR1)       vert(CORNOAR2)       bleu(CORNOAR3)    Mélange équivalent
1 000 K0,880,120,00   
1 500 K0,790,200,01   
2 000 K0,700,260,04   
2 500 K0,610,300,09   
3 000 K0,540,320,14   
3 500 K0,480,330,19   
4 000 K0,430,340,23   
4 500 K0,390,340,27   
5 000 K0,360,340,30   
5 500 K0,330,340,33   
6 000 K0,310,340,35   
6 500 K0,290,340,37   
7 000 K0,270,340,39   
7 500 K0,260,340,40   
8 000 K0,250,330,42   
9 000 K0,230,330,44   
10 000 K0,210,330,46   
15 000 K0,170,320,51   
20 000 K0,160,310,53   
100 000 K0,120,300,58   

La courbe décrite par le point représentatif du spectre du corps noir est appelé le lieu de Planck ou lieu planckien. Aux basses températures, le rouge domine puis, à partir de 3500 K environ, la composante verte est à peu près constante et voisine de 1/3, tandis que s'opère un transfert du rouge vers le bleu.

Malgré son indéniable utilité, la CIE a considéré que le système RGB présentait des inconvénients : il existe une infinité de systèmes RGB liés au choix arbitraire des primaires, le fait que certaines coordonnées trichromatiques peuvent prendre des valeurs négatives est une complication d'interprétation et, surtout, à une époque où tous les calculs sont faits à la main avec l'aide de calculateurs mécaniques, il implique un risque important d'erreurs de calcul. Elle a donc développé un autre système plus universel, fondé sur les travaux de Judd et établi un autre système colorimétrique dit XYZ (réf. 12).

Le système XYZ

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La motivation du système XYZ était de remplacer les trois couleurs primaires R, G et B par trois nouvelles couleurs primaires nommées X, Y et Z levant les inconvénients du système RGB. Ces trois nouvelles primaires n'avaient pas besoin d'être physiquement réalisables mais, en revanche, elles devaient répondre à certaines spécifications.

Outre le principe d'additivité linéaire des stimuli colorés (principe "de Grassmann"), les nouvelles primaires devaient répondre à cinq principes (réf. 12) :

  1. les ratios de luminance des sources R (700 nm), G (546,1 nm) et B (435,8 nm) devaient être égaux à ceux assurant le meilleur ajustement aux moindres carrés entre la luminance et les fonctions colorimétriques, soit 1:4,5907:0,0601,
  2. tout stimulus réel devait avoir des coordonnées chromatiques positives,
  3. le stimulus blanc de spectre iso-énergétique devait avoir ses trois coordonnées chromatiques égales (et donc égales à 1/3),
  4. dans le nouveau repère chromatique, le domaine spectral visible devait remplir au mieux le triangle rectangle unitaire du premier plan de coordonnées (de sommets (1,0), (0,1), (0,0)),
  5. pour réduire les calculs, la nouvelle fonction colorimétrique z(λ) devait devenir identiquement nulle aux grandes longueurs d'onde.

Il convient d'abord de se rappeler que la CIE travaillait dans le plan (r,g), premier plan de coordonnées de l'espace colorimétrique tridimensionnel. Par projection, les deux premières coordonnées (rouge, vert) dans ce plan sont les deux premières coordonnées trichromatiques réduites. La CIE a noté que le bord du domaine chromatique visible (convexe) se confondait pratiquement avec une droite entre les primaires R et G, ce qui a permis de choisir cette droite comme côté XY du nouveau triangle chromatique XYZ. En plaçant X et Z sur la droite de luminance nulle (alychne), la Commission fit en sorte que toute la luminance soit portée par la primaire Y ; de ce fait, la nouvelle fonction colorimétrique y(λ) se confondait avec l'efficacité lumineuse V(λ).Il ne restait plus alors qu'à choisir la droite portant le troisième côté YZ de sorte que le triangle contienne tout le lieu de la lumière visible tout en ayant une forme régulière. Tous calculs faits, la CIE a choisi comme nouvelles primaires les sommets du triangle X, Y et Z décrits ci-dessous par leurs coordonnées chromatiques RGB (restitution détaillée du calcul).

Sommet du triangle    coordonnée r    coordonnée g  
X1,275-0,278
Y-1,7402,768
Z-0,7430,141

Un stimulus de coordonnées (R,G,B) dans l'ancien système a pour coordonnées chromatiques (x,y,z) dans le nouveau système les valeurs données par le produit matriciel :

| x | = | 0,490,310,20 | . | R |
| y | | 0,176970,812400,01064 | | G |
| z | | 0,000,010,99 | | B |

Il est à noter que les coefficients de la deuxième ligne sont connus avec une grande précision (5 chiffres après la virgule) comme résultant de l'ajustement aux moindres carrés, tandis que les autres, calculés avec moins de précision, ont été arrondis par la CIE à deux chiffres après la virgule. Les valeurs à cinq chiffres complétées avec des zéros que l'on trouve aujourd'hui souvent dans la littérature ne sont donc en réalité que la traduction de la valeur normative des coefficients et non de leur précision technique !


Lieu de Planck en coordonnées (x, y)
(réf. 17)

Luminosité, teinte, saturation, valeur

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Tout ce qui précède paraît parfaitement... clair... MAIS, l'on n'a pas encore écrit le mot "clarté" !

Pour les normalisateurs de la CIE de 1931, la notion générale de luminosité était rendue indifféremment par les termes luminance et clarté, employés de manière interchangeable.

Depuis, les études ont montré que des sources de même luminance (paramètre physique mesurable) n'était pas nécessairement perçues par l'observateur humain comme ayant la même luminosité, en fonction du contexte lumineux de la source. Actuellement, bien qu'il reste souvent de la confusion dans l'emploi de ces termes, l'usage technique tend à laisser l'emploi du terme luminosité de côté pour lui préférer le terme de "clarté". Ce dernier (traduisant le mot anglais "lightness") désigne la sensation perçue (subjective et fonction de l'environnement par les ajustements qu'opèrent l'œil et le cerveau), par opposition à la luminance, grandeur physique définie plus haut.

Pour tenir compte de ces phénomènes, la CIE a continué à travailler et a produit en 1976 un nouveau modèle dit "CIE L*a*b*" qui redéfinit les coordonnées de l'espace colorimétrique pour les mettre en meilleur accord avec la perception humaine, notamment pour la comparaison des couleurs. Il est approfondi dans la page Lumières et couleurs, théories et pratiques.

Le lecteur désirant approfondir peut se tourner vers la référence 14, par exemple.

A côté des notions rigoureuses caractérisant l'espace colorimétrique introduites plus haut, d'autres systèmes de description des couleurs existent. Par exemple, les caractéristiques "teinte, saturation, luminosité" ou encore "teinte, saturation, valeur" se rencontrent souvent, bien qu'elles ne soient pas normalisées. Les définitions utilisées varient suivant les auteurs et suivant les logiciels, ce qui n'incite pas à en promouvoir l'usage. Le lecteur intéressé pourra se reporter au commentaire bref et clair donné par la référence 12. La figure suivante, réalisée à partir du GIMP, indique la signification du triplet TSV.

cercle chromatique et TSV
D'abord, la teinte T se place sur le cercle chromatique
sur une échelle de 0° à 360°.
Ensuite, la saturation indique, sur une échelle de 0 à 100,
la proportion de gris mélangée à la teinte
(à saturation 100, il n'y a pas de gris ; à saturation nulle, il ne reste que du gris).
Enfin, la valeur indique si la couleur est "éteinte" (noire, pour V=0)
ou "allumée", avec une gradation sur une échelle de 0 à 100.

Tableau de synthèse

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Action des photons sur la rétine
Stimulus de la perception lumineuse.
Efficacité lumineuse
Sensibilité (sans dimension) de l'œil
à la puissance (W) reçue.
Intensité lumineuse
Champ vectoriel qui indique la distribution par unité
d'angle solide du flux de puissance perçu ;
mesuré en candela cd (= W/sr pondéré par l'efficacité lumineuse).
Flux lumineux
Puissance perçue par l'œil dans un angle solide,
mesuré en lumen (lm=cd.sr), obtenu par intégration
sur l'angle solide de l'intensité lumineuse.
Luminance
Distribution surfacique (cd/m²) de l'intensité
lumineuse produite par une source étendue.
Emittance
Distribution surfacique (lm/m²) du flux lumineux
produit par une source étendue.
Température de couleur
Température (K) du corps noir à laquelle est associée
une émission lumineuse de contenu spectral donné par la loi de Planck.
Chrominance
Position du point représentatif d'un rayonnement dans
l'espace colorimétrique, repérée par ses coordonnées chromatiques.
Système XYZ
Description de l'espace colorimétrique employant trois
primaires virtuelles en lieu et place des primaires R, V et B.
Une transformation matricielle assure la
correspondance entre les deux systèmes.
Luminosité
Notion générale ambiguë qui tend à laisser la place
au couple de mots distinguant deux concepts :
la luminance (quantité physique objective définie plus haut) et
la clarté (sensation perçue subjective tenant compte du contexte lumineux).
TSV, TSL
Familles de descriptions des couleurs reposant sur une caractérisation de la couleur par
sa teinte, la quantité de gris mélangée à la teinte, la brillance du mélange.
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Références

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  1. SANTALLIER Martine. Anatomie de l'œil : la rétine. Janvier 2007 (rév. mai 2011) [consultée le 31 mai 2017]. Ed. CHU de Nantes.
  2. H. J. A. Dartnall, J. K. Bowmaker and J. D. MollonHuman, "Visual Pigments: Microspectrophotometric Results from the Eyes of Seven Persons", Proc. of the Royal Society of London. Series B, Biological Sciences, Vol. 220, No. 1218 (Nov. 22, 1983), pp. 115-130.
  3. CIE 1988 Modified 2° Spectral Luminous Efficiency Function for Photopic Vision (VM(λ)).
  4. Brochure "Le Système international d’unités" du bureau international des poids et mesures.
  5. Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory, sur le site du projet Gutenberg.
  6. Atmospheric Science Data Center, Nasa.
  7. HyperPhysics.
  8. Article "Luminance" de Wikipedia.
  9. Étude des mécanismes de dégradation du luminophore BaM gAl10 O17 : Eu2+, Thèse présentée devant l’Université Claude Bernard - LYON I, pour l’obtention du diplome de doctorat, le 15.XII.2003 par Grégory BIZARRI.
  10. Expérience "observateur standard CIE deux degrés" décrite sur profil-couleur.com.
  11. A. D. Broadbent, Calculation from the original experimental data of the CIE 1931 RGB standard observer spectral chromaticity co-ordinates and color matching functions, Département de génie chimique, Université de Sherbrooke, Sherbrooke, Québec.
  12. H. S. Fairman, M. H. Brill and H. Hemmendinger. How the CIE 1931 color-matching functions were derived from the Wright-Guild data. Color Res Appl 1997; 22: 11-23.
  13. Page USEFUL COLOR DATA du Munsell color science laboratory du Rochester Institute of Technology.
  14. Chapitre LAB de Modern color models.
  15. Fichier:PlanckianLocus.png de Wikipedia.
  16. Teinte, saturation, valeur, luminosité sur le site de l'Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de l'Université Montpellier 2 (pdf également disponible ici).
  17. Terme 17-258 correlated colour temperature [Tcp] de la CIE.

© Sellig Zed, 19.III.2011.